Il teorema di Pitagora è valido ancora se, invece di costruire dei quadrati sui lati del triangolo rettangolo, costruiamo dei triangoli simili? E ciò è valido ancora se costruiamo poligoni simili di n lati ? "
La risposta alla tua prima domanda è SI, e adesso te lo dimostro.
Per semplicità indichiamo con \(A\),\(B\) e \(C\) le tre aree dei tre triangoli rossi costruiti, rispettivamente sui lati \(a\),\(b\) e \(c\) del triangolo rettangolo.
Per le proprietà dei triangoli simili si sa che: le aree di due triangoli simili sono proporzionali al quadrato di una loro dimensione lineare. Oppure, in maniera più semplice, si può dire che il rapporto tra le aree è uguale al quadrato del rapporto tra i lati:
\(A:B = a^2 :b^2 \Rightarrow A = \dfrac{a^2\cdot B}{b^2}\)
\(C:B = c^2 :b^2 \Rightarrow C = \dfrac{c^2\cdot B}{b^2}\)
Adesso, per verificare che il teorema di Pitagora è ancora valido quando consideriamo le aree di triangoli simili biasogna dimostrare che B sia uguale ad A + C, cioè:
\(B = A + C = \dfrac{a^2\cdot B}{b^2} + \dfrac{c^2\cdot B}{b^2} \)
semplificando questa equazione otteniamo facilmente che:
\(b^2\cdot B= a^2\cdot B + c^2\cdot B \Rightarrow b^2=a^2+c^2\)
Questa ultima uguaglianza è valida per il teorema di Pitagora. Abbiamo così dimostrato che esso è valido anche se costruiamo dei triangoli simili sui lati del triangolo rettangolo, al posto dei quadrati.
