Se oggi utilizzo le mie conoscenze per aiutare gli altri, loro faranno lo stesso con me quando ne avrò bisogno.

Limite di una funzione a due variabili (esercizio)

dovrei calcolare il limite della seguente funzione fratta a due variabili

\(\lim_{(x,y) \to(0,0)} \dfrac{x^2y^2}{2x^4 + y^2} \)

#limiti, #limiti due variabili,

Indichiamo con \(f(x,y) = \dfrac{x^2y^2}{2x^4 +y^2}\)la funzione a due variabili di cui vogliamo calcolare il limite nel punto \((x_0=0, y_0=0)\).

Ricordando il teorema delle restrizioni, calcoliamo il limite usando come restrizione il fascio di rette passante per il punto \(\left(x_0,y_0\right)\), cioè \(y=mx\):

\(\lim_{x\to0}\dfrac{x^2m^2x^2}{2x^4 + m^2x^2} = \lim_{x\to0}\dfrac{m^2}{2 + \dfrac{m^2}{x^2}}=0\)

Poichè il limite della restrizione è uguale a 0 e quindi non dipende da \(m\), il risultato potrebbe essere quello giusto ma dobbiamo dimostrare che esiste. Per dimostrare l'esistenza dobbiamo trovare una funzione positiva \(h(x,y)\) che soddisfa due condizioni:

  1. \(|f(x,y) - l| \le h(x,y) \)
  2. \(\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}h(x,y)=0\)

dove in questo caso \(l\) è il valore del limite trovato ed è quindi uguale a 0.
Notiamo che \(|f(x,y)|=\left|\dfrac{x^2y^2}{2x^4 + y^2}\right|\) e \(y^2\le2x^4 + y^2\) ,

per cui si ha che \(\dfrac{y^2}{2x^4+y^2}\le1\), per ogni \((x,y)\ne(0,0)\).

Quindi, se consideriamo \(h(x,y)=x^2\) le due condizioni sono soddisfatte:

  1. \(\left|x^2\dfrac{y^2}{2x^4 + y^2}\right|\le x^2\)
  2. \(lim_{(x,y)\to(0,0)}x^2=0\)

Pertanto, possiamo concludere che il limite esiste ed è uguale a 0.