Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo i cui cateti misurano rispettivamente 3,6 dm e 4,8 dm. Sapendo che l'altezza del prisma è metà dell'ipotenusa, determina l'area della sua superficie totale.
Scriviamo i dati del problema facendo riferimento alla seguente figura:
CALCOLO IPOTENUSA TRIANGOLO RETTANGOLO
Applicando il teorema di Pitagora (il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti) al triangolo rettangolo \(ABC\), possiamo calcolare l'ipotenusa \(AB\):
\(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2};\)
\(AB=\sqrt{\left(3,6^2 + 4,8^2\right)\text{ dm}^2};\)
\(AB = \sqrt{\left(12,96 + 23,04\right)\text{ dm}^2} =\sqrt{36\text{dm}^2} = 6\text{ dm};\)
\(AB = 6\text{ dm}.\)
Avendo calcolato l'ipotenusa \(AB\), possiamo facilmente calcolare l'altezza \(AD\) del prisma utilizzando il dato (4):
\(AD = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{6}{2}\text{ dm} = 3\text{ dm}.\)
CALCOLO PERIMETRO TRIANGOLO RETTANGOLO
\(P_{ABC} = AB + BC + AC = \left(6 + 4,8 + 3,6\right)\text{ dm} = 14,4\text{ dm}. \)
CALCOLO AREA TRIANGOLO RETTANGOLO
\(A_{ABC} = \dfrac{AC\cdot BC}{2} = \dfrac{3,6\cdot4,8}{2}\text{ dm}^{2} = 8,64\text{ dm}^{2}.\)
L'area del triangolo \(DEF\) è uguale a quella del trinagolo \(ABC\) perchè i due triangoli sono uguali per costruzione: \(A_{DEF} = A_{ABC} = 8,64\text{ dm}^{2}.\)
CALCOLO AREA LATERALE PRISMA
Per calcolare l'area della superficie laterale bisogna moltiplicare il perimetro del triangolo \(ABC\) per l'altezza del prisma:
\(A_{laterale} = P_{ABC}\cdot AD = \left(14,4\cdot 3\right)\text{ dm}^{2} = 43,2\text{ dm}^{2}.\)
CALCOLO AREA TOTALE PRISMA
Adesso possiamo calcolare l'area totale del prisma che è uguale all'area laterale + l'area del triangolo \(ABC\) + l'area del triangolo \(DEF\):
\(A_{tot} = A_{laterale} + A_{ABC} + A_{DEF};\)
\(A_{tot} = \left(43,2 + 8,64 + 8,64\right)\text{ dm}^{2} = 60,48\text{ dm}^{2}.\)