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Problema - Prisma retto con base triangolo isoscele (Calcolo Volume)

La base di un prisma retto è un triangolo isoscele che ha il lato obliquo di 34 dm e la base di 32 dm. Sapendo che l'altezza del prisma misura 50 dm, qual è il volume del solido?

#geometria, #prisma retto, #triangolo isoscele,

 

Scriviamo i dati del problema facendo riferimento alla seguente figura:

 

Prisma_retto_con _base_triangolo_isoscele

 

  1. \( \overline{AC} = \overline{BC} = 34\text{ dm};\)
  2. \(\overline{AB}= 32\text{ dm}; \)
  3. \(\overline{AD} = 50\text{ dm}\) (altezza prisma);

utilizzando questi dati dobbiamo calcolare il volume del prisma.

Ricordiamo che il volume del prisma si calcola moltiplicando l'area della base (\(A_{ABC}\)) per l'altezza (\(\overline{AD}\)) del prisma:

\(V = A_{ABC}\cdot\overline{AD}.\)

Dato che l'altezza del prisma la conosciamo, dobbiamo calcolare soltanto l'area della base. Poiché la base è un triangolo isoscele, l'altezza \(\overline{CH}\) divide il lato \(\overline{AB}\) in due parti uguali, quindi:

\(\overline{AH}=\overline{BH}=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{32\text{ dm}}{2}=16\text{ dm}. \)

L'altezza \( \overline{CH} \) del triangolo \(ABC\) può essere calcolata applicando  il teorema di Pitagora (il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti) al triangolo rettangolo \(ACH\):

\(\overline{CH} = \sqrt{\overline{AC}^{2} - \overline{AH}^{2}} = \sqrt{\left(34^2 - 16^2\right)\text{ dm}^2}=  \)

\( = \sqrt{\left(1156 - 256\right)\text{ dm}^2} = \sqrt{900\text{ dm}^2} = 30\text{ dm}; \)

\(\overline{CH} = 30\text{ dm}. \)

Adesso possiamo calcolare  l'area (\(A_{ABC}\)) del triangolo isoscele \(ABC\):

\(A_{ABC}=\dfrac{\overline{AB}\cdot\overline{CH}}{2}=\dfrac{32\text{ dm}\cdot30\text{ dm}}{2}=480\text{ dm}^2. \)

Il volume del prisma è uguale a:

\(V = A_{ABC}\cdot\overline{AD} = \left(480\cdot 50\right)\text{ dm}^3 = 24000\text{ dm}^3 .\)

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