La differenza fra le ampiezze di due angoli consecutivi di un quadrilatero inscritto in una circonferenza è 58° 15' e uno di essi è quadruplo dell'altro. Calcola l'ampiezza dei quattro angoli del quadrilatero.
Scriviamo i dati del problema facendo riferimento alla seguente figura:
Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare i 4 angoli del quadrilatero.
Cominciamo a calcolare gli angoli \(D\hat{A}B\) e \(C\hat{B}A \) utilizzando i dati 1 e 2:
\(D\hat{A}B - C\hat{B}A= 58^{\circ}15'; \)
il dato 2 ci dice che possiamo sostituire \(D\hat{A}B \) con \(4\cdot C\hat{B}A \):
\( 4\cdot C\hat{B}A - C\hat{B}A= 58^{\circ}15'; \)
\(3\cdot C\hat{B}A = 58^{\circ}15' \Rightarrow C\hat{B}A = \dfrac{58^{\circ}15'}{3} = 19^{\circ} 25'; \)
\(D\hat{A}B=4\cdot C\hat{B}A=4\cdot19^{\circ} 25' = 77^{\circ} 40'. \)
Poichè in un quadrilatero inscritto, o inscrivibile, in una circonferenza, gli angoli opposti sono supplementari, possiamo scrivere:
\(D\hat{A}B+B\hat{C}D=180^{\circ}; \)
\(C\hat{B}A +A\hat{D}C =180^{\circ}. \)
Segue che:
\(B\hat{C}D=180^{\circ}-D\hat{A}B=180^{\circ}-77^{\circ} 40'=102^{\circ} 20'; \)
\(A\hat{D}C=180^{\circ}-C\hat{B}A=180^{\circ}-19^{\circ} 25'=160^{\circ} 35'. \)