Se oggi utilizzo le mie conoscenze per aiutare gli altri, loro faranno lo stesso con me quando ne avrò bisogno.

Problema di trigonometria Triangolo qualunque

Sia ABC un triangolo qualunque. Si tracci l'altezza BH affinché l'angolo ABH sia 1/3 dell'angolo HBC. Si sa, inoltre, che AB misura k, BC misura 4k, l'area di ABH è uguale ad 1. Calcolare l'area di BHC.

#geometria, #triangolo scaleno, #trigonometria,

Applico il teorema del seno ai triangoli ABH e BHC per trovare BH:

\(BH:\cos(\alpha) = k:1 \rightarrow BH = k\cdot \cos(\alpha)\) (1),  

\(BH:\cos(3\alpha) = 4k:1 \rightarrow BH = 4k\cdot \cos(3\alpha)\) (2).

Eguagliando la (1) e la (2), si ha:

\(cos(\alpha) = \dfrac{\sqrt{13}}{4}\) e \(sen(\alpha) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\).


Di seguito riporto i passaggi effettuati:

\(4k\cdot \cos(3\alpha) = k\cdot \cos(\alpha)\);

\(4\cdot \cos(\alpha + 2\alpha) = \cos(\alpha)\);

\(4\cdot (\cos(\alpha)cos(2\alpha) - \sin(\alpha)\sin(2\alpha) ) = \cos{\alpha}\);

\(4 \cos(\alpha)[\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)] - 4\sin(\alpha)\cos(\alpha)\cdot2\sin(\alpha) = \cos{\alpha}\);

\(4\cos^3(\alpha) - 4\cos(\alpha)\sin^2(\alpha) - 8\sin^2(\alpha)\cos(\alpha) = \cos(\alpha)\);

divido per \(\cos(\alpha)\) :  \(4\cos^2(\alpha) - 4\sin^2(\alpha) - 8\sin^2(\alpha) = 1\);

\(4(1-\sin^2(\alpha)) -12\sin^2(\alpha) =1;\)

\(4-16\sin^2(\alpha) =1;\)

\(\sin^2(\alpha) =\dfrac{3}{16} \Rightarrow \sin(\alpha)=\dfrac{\sqrt{3}}{4}; \cos(\alpha) = \dfrac{\sqrt{13}}{4}\).


Calcolo l'area di ABH applicando la formula del seno:

\(A_{ABH}=\dfrac{k^2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{2}\)

Dai dati so che tale area è uguale a 1. Eguagliando tale area a 1 e mettendo in essa i valori di \(\sin(\alpha)\) e \(\cos(\alpha)\) trovati, ottengo:

\(k^2 = \dfrac{32}{\sqrt{39}}.\)

Calcolo l'area di BHC, utilizzando la formula del seno:  

 \(A_{BHC} = \dfrac{16k^2\cos(3\alpha)\cdot\sin(3\alpha)}{2}\) (3),  oppure

\(A_{BHC} = \dfrac{k\cos(\alpha)\cdot4k\cdot\sin(3\alpha)}{2}\) (4).

L'espressione  (4) è più agevole, quindi la prenderò in considerazione. Sapendo che

\(\sin(3\alpha) = \sin(2\alpha + \alpha) = \sin(\alpha)\cos(2\alpha) + sin(2\alpha)\cos(\alpha) =\)

\(= [\sin(\alpha)(\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha))+2\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)]\)

basta andare a sostituire nella  (4) tale valore, poi sostituire i valori di k , \(\sin(\alpha)\)\(\cos(\alpha)\) trovati, per ottenere che:

\(A_{BHC} = 9\)

Spero di essere stata chiara. Mi farebbe molto piacere ricevere una risposta da te per sapere se ti sono stata di aiuto. Ciao 

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