Se oggi utilizzo le mie conoscenze per aiutare gli altri, loro faranno lo stesso con me quando ne avrò bisogno.

Problema- Calcolo area di un triangolo rettangolo con circonferenza inscritta

In un triangolo rettangolo è inscritta una circonferenza . Il punto in cui tale circonferenza tocca l'ipotenusa la divide in due segmenti il cui prodotto è  11. Calcolare l'area del triangolo rettangolo.  ( Vorrei sapere il procedimento , grazie . 

#triangolo rettangolo, #circonferenza inscritta,

Ciao Greena, facendo riferimento alla figura sottostante ti mostrerò come risolvere il problema.

Dalla traccia sappiamo che \(BQ\cdot QC = 11\) .

Per semplicità indichiamo con \(a\),\(b\) e \(c\) l'ipotenusa e i due cateti del triangolo rettangolo.

Per costruzione sappiamo anche che \(AM = AN = r\), dove \(r\) è il raggio del cerchio.

Per le proprietà delle tangenti da un punto esterno si ha che:

\(QC = NC = b-r;\)

\(BQ = BM = c-r;\)

Pertanto possiamo scrivere: 

\(BQ \cdot QC = (b-r)\cdot(c-r) = b\cdot c -b\cdot r-c\cdot r+r^2=11\). (eq. 1)

Inoltre, sommando i due segmenti che costituiscono l'ipotenusa si ha che:

\(a = BQ+QC=b+c-2r\);

Calcoliamo adesso il semiperimetro del triangolo rettangolo che indichiamo con \(P\)

\(P = \dfrac{a+b+c}{2} =\dfrac {b+c-2r+b+c}{2} = b+c-r\)

Ricordando la relazione che lega l'area (\(S\)), il raggio (\(r\)) della circonferenza inscritta  ed il semiperimetro di un triangolo, possiamo scrivere:

\(S = r\cdot P = r\cdot(b+c-r) = b\cdot r + c\cdot r - r^2\)

Inoltre sappiamo anche che:

\(b\cdot c = 2S\)

Sostituendo queste due relazioni in (eq. 1) si ha che:

\(2S - S = 11 \Rightarrow S = 11.\)

 

greena -
Grazie Arturo . Sei stato più che ottimo . Meriti ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

Leggi anche: