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Problema - calcolare altezza e mediana relative all'ipotenusa di un triangolo rettangolo

Un cateto di un triangolo rettangolo è 24/7 dell'altro e la loro differenza misura 10,2 cm. Calcola la misura dell'altezza e della mediana relative all'ipotenusa.

#teorema di euclide, #teorema di pitagora, #triangolo rettangolo,

Scriviamo i dati del problema facendo riferimento alla seguente figura:

 

Triangolorettangolo_mediana

 

  1. \(BC = \dfrac{24}{7}AC;\)
  2. \(BC-AC=10,2\text{ cm} \)

 

CALCOLO CATETI DEL TRIANGOLO RETTANGOLO

Utilizzando il dato 1 possiamo sostituire  \(BC\) con \(\dfrac{24}{7}AC\) nel dato 2 :

 \(BC-AC=10,2\text{ cm};\)   \( \dfrac{24}{7}AC-AC=10,2\text{ cm}; \)

\( \left(\dfrac{24}{7}-1\right)AC=10,2\text{ cm}; \)   \( \dfrac{24-7}{7} AC=10,2\text{ cm}; \)

\( \dfrac{17}{7} AC = 10,2\text{ cm} \Rightarrow AC = \dfrac{7}{17} 10,2\text{ cm} = 4,2\text{ cm}; \)

\(AC = 4,2\text{ cm}; \)

Abbiamo così calcolato il cateto \(AC\). Per calcolare \(BC\) sostituisco il valore del cateto \(AC\) nel dato 2:

\(BC-AC=10,2\text{ cm}; \) \(BC-4,2\text{cm} = 10,2\text{ cm};\)

\(BC=14,4\text{ cm}; \)

 

CALCOLO IPOTENUSA \(AB\)

Applicando il teorema di Pitagora (il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti) al triangolo rettangolo \(ABC\), possiamo calcolare l'ipotenusa \(AB\):

\(AB = \sqrt{AC^2+BC^2};\) \(AB =\sqrt{\left(4,2^{2}+14,4^{2}\right)\text{ cm}^2};\)

\(AB = \sqrt{\left(17,64 + 207,36\right)\text{ cm}^2} =\sqrt{225\text{ cm}^2} = 15\text{ cm};\)

\(AB = 15\text{ cm}.\)

 

CALCOLO PROIEZIONI DEI CATETI SULL'IPOTENUSA

Per calcolare \( AH\) applico il primo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa) al triangolo rettangolo \(ABC\). Nel nostro caso il cateto considerato è \(AC\), mentre la sua proiezione sull'ipotenusa è \(AH\), quindi possiamo scrivere che:

\(AB : AC = AC : AH  \Rightarrow  AH =\dfrac{AC^2}{AB} = \dfrac{\left(4,2\text{ cm}\right)^{2}}{15\text{ cm}} = \dfrac{17,64\text{ cm}^2}{15\text{ cm}} = 1,176\text{ cm} .\)

La proiezione \(BH \) può essere calcolata facilmente sottraendo all'ipotenusa \(AB\) la proiezione \(AH\):

\(BH = AB - AH = \left(15-1,176\right)=13,824\text{ cm}.\)

 

CALCOLO  ALTEZZA \(CH\)

Per calcolare \(CH\) applico il secondo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa  è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa) al triangolo rettangolo \(ABC\). Nel nostro caso le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa sono \(AH\) e \(BH\), quindi possiamo scrivere che:

\(AH : CH = CH : BH \Rightarrow CH^2 = AH\cdot BH;\)

\(CH = \sqrt{AH\cdot BH} = \sqrt{\left(1,176\cdot 13,824\right)\text{ cm}^2}=4,032\text{ cm}. \)

 

CALCOLO  MEDIANA RELATIVA ALL'IPOTENUSA

In un triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa  è uguale a metà ipotenusa:

\(CK = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{15}{2} = 7,5\text{ cm}.\)