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Problema - calcolare perimetro di un trapezio rettangolo con lato obliquo perpendicolare alla diagonale minore

In un trapezio rettangolo la diagonale minore è perpendicolare al lato obliquo e misura 26 m. Calcola il perimetro del trapezio sapendo che il lato obliquo è lungo 19,5 m.

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Scriviamo i dati facendo riferimento alla seguente figura:

 

 

  1. \(AC = 26\text{ m};\)
  2. \(BC = 19,5\text{ m}; \)
  3. \(A\hat{C}B = 90^{\circ}; \)

 

CALCOLO BASE MAGGIORE \(AB\)

La base maggiore \(AB\) può essere calcolata applicando il teorema di Pitagora (il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti) al triangolo rettangolo \(ABC\):

\(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} =  \sqrt{\left(26^2+19,5^2\right)\text{ m}^2}  =  \sqrt{\left(676+380,25\right)\text{ m}^2}  = 32,5\text{ m}.\)

 

CALCOLO \(AH \) (proiezione del cateto \(AC\) sull'ipotenusa \(AB\))

Per calcolare \(AH\) applico il primo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa) al triangolo rettangolo \(ABC\). Nel nostro caso il cateto considerato è \(AC\), mentre la sua proiezione sull'ipotenusa è \(AH\), quindi possiamo scrivere che:

\(AB : AC = AC : AH \Rightarrow  AH =\dfrac{AC^2}{AB} = \dfrac{\left(26\text{ m}\right)^{2}}{32,5\text{ m}} = \dfrac{676\text{ m}^2}{32,5\text{ m}} = 20,8\text{ m}. \)

Per costruzione sappiamo che \(CD=AH=20,8\text{ m}\).

 

CALCOLO  ALTEZZA \(CH\)

Per poter calcolare \(CH\) è necessario conoscere prima il segmento \(BH\) che può essere calcolato facilmente sottraendo all'ipotenusa \(AB\) il segmento \(AH\):

\(BH = AB - AH = \left(32,5 - 20,8\right)\text{ m}=11,7\text{ m}.\)

Per calcolare \( CH\) applico il secondo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa  è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa) al triangolo rettangolo \( ABC\). Nel nostro caso le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa sono \(AH\) e \(BH\), quindi possiamo scrivere che:

\(AH : CH = CH : BH \Rightarrow CH^2 = AH \cdot BH;\)

\(CH = \sqrt{AH\cdot BH} = \sqrt{\left(20,8\cdot 11,7\right)\text{ m}^2}=15,6\text{ m}\).

Per costruzione sappiamo che \(AD=CH =15,6\text{ m}.\)

 

CALCOLO  PERIMETRO TRAPEZIO

Adesso abbiamo tutti i dati necessari per calcolare il perimetro del trapezio \(ABCD\):

\(P_{ABCD} = AB+ BC + CD + AD = \left(32,5+19,5+20,8+15,6\right)\text{ m}=88,4\text{ m}.\)

 

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