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Problema prisma con base triangolo rettangolo (calcolo area totale)

Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo i cui cateti misurano rispettivamente 3,6 dm e 4,8 dm. Sapendo che l'altezza del prisma è metà dell'ipotenusa, determina l'area della sua superficie totale.

#prisma, #triangolo rettangolo, #teorema di pitagora,

Scriviamo i dati del problema facendo riferimento alla seguente figura:

 

 

 

  1. \(A\hat{C}B = D\hat{F}E=90^{\circ}\);
  2. \(AC = 3,6\text{ dm} = \text{cateto minore};\)
  3. \(BC = 4,8\text{ dm} = \text{cateto maggiore};\)
  4. \(AD = \dfrac{AB}{2} = \text{altezza prisma}.\)

 

CALCOLO IPOTENUSA TRIANGOLO RETTANGOLO

Applicando il teorema di Pitagora (il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti) al triangolo rettangolo \(ABC\), possiamo calcolare l'ipotenusa \(AB\):

\(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2};\)

\(AB=\sqrt{\left(3,6^2 + 4,8^2\right)\text{ dm}^2};\)

\(AB = \sqrt{\left(12,96 + 23,04\right)\text{ dm}^2} =\sqrt{36\text{dm}^2} = 6\text{ dm};\)

\(AB = 6\text{ dm}.\)

Avendo calcolato l'ipotenusa \(AB\), possiamo facilmente calcolare l'altezza \(AD\) del prisma utilizzando il dato (4):

\(AD = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{6}{2}\text{ dm} = 3\text{ dm}.\)

 

CALCOLO PERIMETRO TRIANGOLO RETTANGOLO 

\(P_{ABC} = AB + BC + AC = \left(6 + 4,8 + 3,6\right)\text{ dm} = 14,4\text{ dm}. \)

 

CALCOLO AREA TRIANGOLO RETTANGOLO 

\(A_{ABC} = \dfrac{AC\cdot BC}{2} = \dfrac{3,6\cdot4,8}{2}\text{ dm}^{2} = 8,64\text{ dm}^{2}.\)

L'area del triangolo \(DEF\) è uguale a quella del trinagolo \(ABC\) perchè i due triangoli sono uguali per costruzione: \(A_{DEF} = A_{ABC} = 8,64\text{ dm}^{2}.\)

 

CALCOLO AREA LATERALE PRISMA

Per calcolare l'area della superficie laterale bisogna moltiplicare il perimetro del triangolo \(ABC\) per l'altezza del prisma:

\(A_{laterale} = P_{ABC}\cdot AD = \left(14,4\cdot 3\right)\text{ dm}^{2} = 43,2\text{ dm}^{2}.\)

 

CALCOLO AREA TOTALE PRISMA

Adesso possiamo calcolare l'area totale del prisma che è uguale all'area laterale + l'area del triangolo \(ABC\) + l'area del triangolo \(DEF\):

\(A_{tot} = A_{laterale} + A_{ABC} + A_{DEF};\)

\(A_{tot} = \left(43,2 + 8,64 + 8,64\right)\text{ dm}^{2} = 60,48\text{ dm}^{2}.\)

 

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