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Problema Prisma Regolare Pentagonale (Calcolo area laterale e totale)

Calcola l'area della superficie laterale e totale di un prisma pentagonale regolare alto 18 cm, sapendo che lo spigolo di base misura 12 cm.

#prisma, #pentagono,

 

Scriviamo i dati del problema facendo riferimento alla seguente figura:

 

PrismaBasePentagonale

 

  1. \(l = 12\text{ cm}\) (spigolo di base);
  2. \(h = 18\text{ cm}\) (altezza prisma);

Il problema ci chiede di calcolare l'area laterale (\(A_{laterale}\)) e totale (\(A_{totale}\)) del prisma. L'area totale può essere calcolata utilizzando la seguente formula:

\(A_{totale}=2\cdot A_{base} + A_{laterale}.\)

Per calcolare l'area totale abbiamo quindi bisongo sia dell'area di base (\(A_{base}\)) che dell'area laterale (\(A_{laterale}\)).

 

CALCOLO AREA LATERALE

Cominciamo a calolare l'area laterale utilizzando la seguente formula:

\(A_{laterale} = P_{base} \cdot h\),

dove l'unico dato che non abbiamo è il perimetro del pentagono \(P_{base}\), che però possiamo calcolare facilmente ricordando che il perimetro di un pentagono regolare si ottiene moltiplicando un lato per 5:

\(P_{base} = 5\cdot l = 5\cdot 12\text{ cm} = 60\text{ cm}.\)

Pertanto:

\(A_{laterale}= P_{base} \cdot h = (60\cdot 18)\text{ cm}^2 = 1080\text{ cm}^2. \)

 

CALCOLO AREA BASE

Per calcolare l'area di base (\(A_{base}\)) del pentagono è necessario calcolare prima l'apotema che, nel caso del pentagono, è legata al lato dalla seguente relazione:

\(a=l\cdot 0.688 = 12\cdot 0.688\text{ cm} = 8,256\text{ cm}.\)

L'area del pentagono regolare si calcola moltiplicando il perimetro per l'apotema e dividendo il risultato per 2:

\(A_{base}=\dfrac{P_{base}\cdot a}{2}=\dfrac{(1080 \cdot 8,256)\text{ cm}^2}{2}=4458,24\text{ cm}^2.\)

 

CALCOLO AREA TOTALE

Adesso possimao calcolare l'area totale:

\(A_{totale}=2\cdot A_{base} + A_{laterale}=2\cdot 4458,24\text{ cm}^2 + 1080\text{ cm}^2= 9996,48.\)

   

 

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