Un prisma retto alto 10 cm ha l'area della superficie laterale di 444 cm^2. Sapendo che la base del prisma è un trapezio rettangolo con l'altezza e il lato obliquo rispettivamente 9,6 cm e 12 cm, calcola l'area della superficie totale del prisma.
Scriviamo i dati del problema facendo riferimento alla seguente figura:
L'area totale del prisma è uguale all'area laterale più l'area delle due basi (trapezio inferiore e trapezio superiore), cioè:
\(A_{tot} = A_{laterale} + 2 \cdot A_{trapezio}. \)
Poichè l'area laterale del prisma già la conosciamo, l'unica cosa che ci manca è l'area del trapezio di base.
CALCOLO AREA TRAPEZIO DI BASE
Cominciamo a calcolare il perimetro del trapezio (\(P_{trapezio}\)), utilizzando la formula inversa per il calcolo dell'area laterale:
\(P_{trapezio} = \dfrac{A_{laterale}}{h} = \dfrac{444 \text{ cm}^2}{10\text{ cm}} = 44,4\text{ cm}. \)
Ricordiamo che il perimetro è la somma dei 4 lati del trapezio quindi possiamo scrivere:
\(P_{trapezio} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} + \overline{AD}. \)
I lati \(\overline{BC} \) e \(\overline{AD} \) li conosciamo, quindi possiamo sostituire:
\(44,4\text{ cm} = \overline{AB} +12\text{ cm} + \overline{CD} + 9,6\text{ cm};\)
\(\overline{AB}+ \overline{CD} = 44,4\text{ cm} - 12\text{ cm} - 9,6\text{ cm} = 22,8\text{ cm};\)
\(\overline{AB}+ \overline{CD} = 22,8\text{ cm}. \)
Adesso abbiamo tutto ciò che ci occorre per calcolare l'area del trapezio:
\(A_{trapezio}=\dfrac{\left(\overline{AB}+\overline{CD}\right)\cdot\overline{AD}}{2}=\dfrac{22,8\text{ cm}\cdot 9,6\text{ cm}}{2} = 109,44\text{ cm}^2. \)
CALCOLO AREA TOTALE PRISMA
L'area totale del prisma sarà uguale a:
\(A_{tot} = A_{laterale} + 2\cdot A_{trapezio} = \left(444 + 2\cdot 109,44\right)\text{ cm}^2 = 662,88\text{ cm}^2. \)