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Problema - Trapezio Isoscele (Calcolo perimetro)

Un trapezio isoscele che ha la base minore di 24 cm, lato obliquo di 22,6 cm, l'altezza di 16 cm e un angolo adiacente alla base maggiore di 45°. Calcolare il perimetro. 

#geometria, #trapezio, #trapezio isoscele,

Scriviamo i dati del problema facendo riferimento alla seguente figura:

 

Trapezio_Isoscele_2

 

  1. \(\overline{DC} = \overline{KH} = 24\text{ cm}; \)
  2. \(\overline{CB} = \overline{AD} = 22.6\text{ cm}; \)
  3. \(\overline{CK} = 16\text{ cm};\)
  4. \(C\hat{B}K = 45^{\circ}.\)

Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare il perimetro \(P_{ABCD}\) del trapezio.

Il triangolo \(BCK \) è un triangolo rettangolo in \(\hat{K} \). Poichè l'angolo \(C\hat{B}K\) è uguale a \(45^{\circ}\), anche l'angolo \(B\hat{C}K \) deve essere uguale a \(45^{\circ} \) perchè la somma degli angoli interni di un triangolo deve essere uguale a \(180^{\circ} \).

Di conseguenza, poichè gli angoli \(C\hat{B}K \) e \(B\hat{C}K \) sono uguali, il triangolo \(BCK \) oltre ad essere rettangolo è anche isoscele, e quindi i due lati \(\overline{BK}\) e \(\overline{CK}\) sono uguali:

\(\overline{BK}=\overline{CK}=16\text{ cm}. \)

Poichè il trapezio è isoscele, possiamo scrivere che:

\(\overline{AH} = \overline{BK} = 16\text{ cm}. \)

Ne consegue che la base maggiore è uguale a:

\(\overline{AB} = \overline{AH} + \overline{KH} + \overline{BK} = 16\text{cm} + 24\text{cm} + 16\text{cm} = 56\text{cm}. \)

A questo punto possiamo calcolare il perimetro del trapezio:

\(P_{ABCD} = \overline{AB} + \overline{CB} + \overline{DC} + \overline{AD}; \)

\(P_{ABCD} = 56\text{cm} + 22,6\text{cm} + 24\text{cm} + 22,6\text{cm} = 125,2\text{cm}. \)

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