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Problema -Trapezi simili

Due trapezi rettangoli sono simili. Del primo si conoscono le seguenti misure: base maggiore = 30 cm, lato obliquo = 50 cm, altezza = 48 cm. Determina il perimetro del secondo trapezio, sapendo che la sua base minore è 24 cm.

#geometria, #trapezio, #similitudine,

 

Scrivo i dati del problema facendo riferimento alla seguente figura:

 

trapezi_rettangolo_simili

 

  1. \(\overline{AB} = 30\text{ cm};\)
  2. \(\overline{BC} = 50\text{ cm};\)
  3. \(\overline{CH} = \overline{AD} = 48\text{ cm};\)
  4. \(\overline{C'D'} = 24\text{ cm};\)
  5. I trapezi \(ABCD \) e \(A'B'C'D' \) sono simili.

 

CALCOLO IL SEGMENTO BH

Applico il teorema di Pitagora (il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti) al triangolo rettangolo BCH:

\(\overline{BH} = \sqrt{\overline{BC}^{2} - \overline{CH}^{2}}; \)

\(\overline{BC} =\sqrt{\left(50^2 - 48^2 \right)\text{ cm}^2} = \sqrt{\left(2500 + 2304\right)\text{ cm}^2} = \sqrt{106\text{ cm}^2} = 14\text{cm}. \)

 

CALCOLO LA BASE MINORE CD

Poichè \(\overline{AH} = \overline{CD} \), possiamo scrivere:

\(\overline{CD}=\overline{AH}=\overline{AB}-\overline{BH}=\left(30-14\right)\text{ cm}=16\text{ cm}.\)

 

CALCOLO PERIMETRO TRAPEZIO \(A'B'C'D' \)

Poichè i due trapezi sono simili, i lati sono in proporzione tra loro e quindi:

\(\overline{AB}:\overline{A'B'}=\overline{CD}:\overline{C'D'};\)

\(30:\overline{A'B'}=16:24 \Rightarrow \overline{A'B'}=\dfrac{30\cdot24}{16} = 45\text{ cm};\)

\(\overline{BC}:\overline{B'C'}=\overline{CD}:\overline{C'D'}\)

\(50:\overline{B'C'}=16:24 \Rightarrow \overline{B'C'}=\dfrac{50\cdot24}{16} = 75\text{ cm};\)

\(\overline{BC}:\overline{B'C'}=\overline{CD}:\overline{C'D'}\)

\(48:\overline{A'D'}=16:24 \Rightarrow \overline{A'D'}=\dfrac{48\cdot24}{16} = 72\text{ cm}; \)

A questo punto possiamo calcolare il perimetro del trapezio \(A'B'C'D' \):

\(P_{A'B'C'D'}=\overline{A'B'}+\overline{B'C'}+\overline{C'D'}+\overline{A'D'}= \left(45 + 75 + 24 + 72\right)\text{ cm} = 216\text{ cm}; \)

 

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